Correção da questão de números complexos

Pessoal, tudo bem? 🙂 Alguns de vocês perceberam que, no vídeo em que resolvemos essa questão de números complexos de embasamento (no bloco 3 minuto 07:00), eu cometi um equívoco no cálculo do módulo. 

 

Vamos aproveitar para corrigir isso com calma e reforçar o conceito. É um assunto muito importante para quem vai trabalhar com fasores, circuitos em regime permanente senoidal e, claro, para a prova da Caixa Econômica Federal (Engenheiro Eletricista).

1. Reescrevendo \(z\) com logaritmo complexo

Começamos usando a identidade geral de potências:

\[ a^b = e^{b \ln a}, \quad a > 0. \]

Aplicando isso a \( z = 2^{(1+i)} \), temos:

\[ z = 2^{(1+i)} = e^{(1+i)\ln 2}. \]

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2. Colocando \(z\) na forma polar

A forma polar (ou exponencial) de um número complexo é

\[ z = \rho e^{i\theta}, \]

em que: \(\rho = |z|\) é o módulo e \(\theta\) é o argumento.

Vamos manipular a expressão que encontramos para \(z\):

\[ z = e^{(1+i)\ln 2} = e^{\ln 2} \cdot e^{i \ln 2} = 2 \, e^{i \ln 2}. \]

Comparando com \( z = \rho e^{i\theta} \), obtemos:

\[ \rho = 2, \quad \theta = \ln 2. \]

Podemos também escrever:

\[ z = 2^{1+i} = 2 \cdot 2^{i} = 2\left(\cos(\ln 2) + i \sin(\ln 2)\right), \]

o que confirma novamente que o módulo é \( \rho = 2 \) e o argumento é \( \theta = \ln 2 \). Note que \(\ln 2 \approx 0{,}693\), valor dentro do intervalo \(-\pi \leq \theta \leq \pi\), logo é mesmo o argumento principal.

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3. Calculando o produto \(\rho \theta\)

Agora basta multiplicar:

\[ \rho \theta = 2 \cdot \ln 2. \]

Usando a propriedade \( 2 \ln 2 = \ln(2^2) \), obtemos:

\[ \rho \theta = \ln 4. \]

Portanto, a alternativa correta é:

\[ \boxed{\text{(E) } \ln 4}. \]

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4. Onde estava o equívoco na primeira explicação?

No vídeo, eu havia seguido uma linha de raciocínio equivocada ao tentar encontrar o módulo de \(z\) a partir do módulo de \(\ln z\). O raciocínio (incorreto) foi, em essência, o seguinte:

1. Primeiro, calculei: \[ \ln z = (1+i)\ln 2. \]
2. Depois, tomei o módulo: \[ |\ln z| = |(1+i)\ln 2| = \sqrt{2}\,\ln 2. \]
3. Em seguida, usei (de forma indevida) a ideia de que \[ |z| = e^{|\ln z|}, \] chegando a \[ |z| = e^{\sqrt{2}\,\ln 2} = 2^{\sqrt{2}}. \]

O problema está exatamente nessa última etapa. Para números complexos, não é verdade, em geral, que

\[ |z| = e^{|\ln z|}. \]

A relação correta para o logaritmo (principal) de um número complexo é:

\[ \ln z = \ln|z| + i\theta, \]

onde:

• \(\ln|z|\) é a parte real de \(\ln z\);
• \(\theta\) (argumento) é a parte imaginária de \(\ln z\).

No nosso caso:

\[ \ln z = (1+i)\ln 2. \]

Portanto:

\[ \Re(\ln z) = \ln 2, \quad \Im(\ln z) = \ln 2. \]

Daí, obtemos:

\[ \ln|z| = \Re(\ln z) = \ln 2 \quad \Longrightarrow \quad |z| = e^{\ln 2} = 2, \]

e

\[ \theta = \Im(\ln z) = \ln 2. \]

Repare que o módulo de \(\ln z\), isto é,

\[ |\ln z| = \sqrt{2}\,\ln 2, \]

não tem relação direta com o módulo de \(z\). Ele “mistura” a parte real e a parte imaginária de \(\ln z\), e por isso não pode ser usado para recuperar \(|z|\).

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5. Ponto Importante!

Erros assim fazem parte do processo de aprendizagem – inclusive do professor. 😄 O ponto positivo é que isso nos dá a oportunidade de reforçar conceitos importantes:

• Para encontrar \(|z|\) e \(\theta\) a partir de \(\ln z\), use sempre \(\ln z = \ln|z| + i\theta\);
• \(\ln|z|\) vem da parte real de \(\ln z\);
• \(\theta\) (argumento) vem da parte imaginária de \(\ln z\).

Sigam firmes nos estudos para o cargo de Engenheiro Eletricista da Caixa Econômica Federal. Qualquer dúvida sobre essa questão (ou outras) é só mandar. Estamos juntos nessa preparação! 💪📚⚡

 

Att., 

 

Prof. Filipe Miguel.